第5章：証明法と「if」――対偶、背理法、数学的帰納法

――仮定を真理へと変貌させる論理の錬金術

5.1 証明とは「if」の鎖を繋ぐ作業である

数学の真の鼓動は、論理ルールを道具として使い、未知の荒野に真理の旗を立てる「証明（Proof）」という動的な営みの中にこそ宿っている。証明という行為は、仮定という「もし（if）」の世界から、結論という「必然（then）」の世界へと、論理のレールを敷いていく作業に他ならない。

5.2 直接証明法：演繹の王道

最も基本的であり、かつ数学的思考の根幹を成すのが直接証明法（Direct Proof）である。これは、$P⟹Q$ の鎖を一つずつ繋いでいく手法である。

• 例： 「$n$ が偶数ならば、$n^2$ は偶数である」

1. If： $n$ は偶数とする。
2. 展開： $n=2k$ と書ける。
3. 演算： $n^2=(2k{)}^2=4k^2=2(2k^2)$。
4. Then： $n^2$ も偶数の定義を満たす。

5.3 対偶証明法：論理の「裏口」

真正面から挑んでも突破口が見つからないとき、数学者は矢印を裏返す。$P⟹Q$ の代わりに、その対偶である $\neg Q⟹\neg P$ を証明するのである。

• 例： 「$n^2$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」 これを直接示すのは難しい。そこで対偶「$n$ が奇数ならば、$n^2$ は奇数である」を示す。 $n=2k+1⟹n^2=(2k+1{)}^2=2(2k^2+2k)+1$ これで対偶が言えたので、元の命題も証明されたことになる。

5.4 背理法：矛盾という不条理の力

背理法（Reductio ad absurdum）は、証明したいことの否定をあえて仮定し、論理的な崩壊（矛盾）を導く。

• 例： $\sqrt{2}$ が無理数であることの証明。 もし有理数（$a/b$）だと仮定すると、既約分数であるはずなのに $a$ も $b$ も偶数になってしまうという矛盾が生じる。この「if」の果ての破綻こそが、真理の証明となる。

5.5 数学的帰納法：「if」のドミノ倒し

無限に続く自然数のすべてを支配するのが数学的帰納法である。

1. 基底： $P(1)$ が成り立つ。
2. ステップ： 「もし $P(k)$ が真ならば、$P(k+1)$ も真である」という if を証明する。

この「継承のルール」が証明されれば、無限のドミノは永遠に倒れ続ける。

5.6 第5章の結語：知の盾と矛

証明法を選ぶことは、数学者の知略と美学の現れである。 次章では、命題論理に「量」の概念を導入する「述語論理」の世界へと進む。「すべての $x$ において……」という表現が、いかに「if」の射程を無限へと広げるのかを見ていこう。