【第4節】商対象（Quotient Object）の定義

【第4節】商対象（Quotient Object）の定義

—— エピ射による等価

前節では、「部分対象」を「ある対象の中へ埋め込まれるモノ射（$S\hookrightarrow A$）の同値類」として定義した。 ならば、双対性原理に従い、その逆も定義できるはずだ。 それが**「商対象（Quotient Object）」**である。

エピ射による「商」の表現

対象 $A$ の「商」を考えたい。それは $A$ から情報を削ぎ落とした（圧縮した）対象 $Q$ のことだ。 これを表現するには、$A$ から $Q$ への全射的な矢印、すなわちエピ射 $q:A\twoheadrightarrow Q$ を使えばよい。 ペア $(Q,q)$ が商対象の候補となる。

商対象の同値関係

部分対象のときと同様に、行き先 $Q$ の名前が違うだけで、構造的には同じ潰し方をしているものを同一視したい。 例えば、整数 $\mathbb{Z}$ を

• $q_1:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ （偶数・奇数で割る）
• $q_2:\mathbb{Z}\to \{+1,-1\}$ （$n\mapsto (-1{)}^n$ で割る） この二つは、行き先のラベル（$[0],[1]$ と $+1,-1$）が違うだけで、整数の分類の仕方としては全く同じ（パリティによる分類）である。

そこで、2つのエピ射 $q:A\twoheadrightarrow Q$ と $q^{\prime }:A\twoheadrightarrow Q^{\prime }$ が同値であるという定義を、以下のように定める。 「同型射 $i:Q\to Q^{\prime }$ が存在して、$q^{\prime }=i\circ q$ となる（三角形が可換になる）とき、これらは同じ商を定めているとみなす」

この同値関係による同値類を、対象 $A$ の**「商対象（Quotient Object）」**と呼ぶ。 記号で書くなら、$Quot(A)$ は $A$ からのエピ射の同値類の集まりである。

商対象の順序構造（格子）

部分対象 $Sub(A)$ には、「包含関係（$\subseteq$）」という自然な順序があった。 $S_1\subseteq S_2$ とは、$S_1$ が $S_2$ を経由して $A$ に埋め込めることだ。

同様に、商対象 $Quot(A)$ にも順序が入る。 商 $q_1:A\twoheadrightarrow Q_1$ と $q_2:A\twoheadrightarrow Q_2$ があるとき、 「$q_1$ の方が $q_2$ より細かい（finer）」あるいは「$q_2$ は $q_1$ より粗い（coarser）」という関係を定義できる。 これは、射 $u:Q_1\to Q_2$ が存在して $q_2=u\circ q_1$ となることだ。 つまり、$Q_1$ という商をとった後、さらに $u$ で潰すことで $Q_2$ が得られる関係である。

• 最も細かい商（最大元）：恒等射 $id:A\to A$。（何も潰していない）
• 最も粗い商（最小元）：終対象への射 $A\to \{\ast \}$。（すべてを一点に潰した）

このように、ある対象 $A$ のすべての商たち（$Quot(A)$）は、順序集合（格子）をなす。 我々が「商をとる」とき、無意識にこの格子の中から適切な「粗さ」の商を選び出しているのである。

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【第5節】像と余像（Image and Coimage）

—— 写像の分解ふたたび

第1章で、集合論における写像の分解定理を見た。 $f=\iota \circ \bar{f}\circ \pi$ 「写像は、全射（商）と単射（部分）に分解できる」。 この定理を、圏論の言葉（エピ射とモノ射、商対象と部分対象）を使って、より普遍的な形で再定式化してみよう。 ここに登場するのが**「像（Image）」と「余像（Coimage）」**という双対概念である。

1. 像（Image）：情報の到達点

写像 $f:A\to B$ の「像」とは何か？ 集合論的な直感では、「$f$ によって $A$ が $B$ の中に移された領域（値域）」のことだ。 圏論的には、これを以下のように定義する。

【定義】 射 $f:A\to B$ の像 $Im(f)$ とは、$f$ を分解するモノ射（部分対象）の中で、**「最小の」**ものである。

分解 $f=m\circ e$ （$m$ はモノ射）があったとする。$B$ の部分対象 $m:M\hookrightarrow B$ が $f$ の通過点になっている。 このような通過点 $M$ はいくつもある（極端な話、$B$ 全体も通過点だ）。その中で、最も無駄がなく、$f$ の情報を過不足なく受け止めている最小の部分対象。それが像 $Im(f)$ である。 普遍性を使って言えば、「任意の分解 $f=m^{\prime }\circ e^{\prime }$ に対して、一意的な射 $u:Im(f)\to M^{\prime }$ があって $m^{\prime }\circ u=m$ となる」ような対象である。

2. 余像（Coimage）：情報の出発点

では、その双対である「余像」とは何か？ 言葉の響きは馴染みが薄いかもしれないが、概念は非常に重要だ。

【定義】 射 $f:A\to B$ の余像 $Coim(f)$ とは、$f$ を分解するエピ射（商対象）の中で、**「最大の」**ものである。

分解 $f=m\circ e$ （$e$ はエピ射）があったとする。$A$ の商対象 $e:A\twoheadrightarrow Q$ が $f$ の第一段階になっている。 このような第一段階 $Q$ の中で、最も情報が圧縮されすぎず、$f$ の識別能力を最大限に残している商対象（最も細かい商）。それが余像 $Coim(f)$ である。 集合圏 Set においては、これは**「定義域 $A$ を核（$f(x)=f(y)$）で割った商集合」** $A/{\sim }_f$ と一致する。

• 像（Image）： $B$ の部分対象。出力側の実体。
• 余像（Coimage）： $A$ の商対象。入力側の設計図。

準同型定理の圏論的解釈

さて、ここで代数学の基本定理である「準同型定理（第一同型定理）」を思い出そう。 $G/\text{Ker}(f)\cong \text{Im}(f)$ 「定義域を核で割ったもの（余像）は、像と同型である」。

圏論の世界でも、多くの「行儀の良い圏（アーベル圏など）」においては、以下の同型が成り立つ。 $Coim(f)\cong Im(f)$ これは何を意味しているのか？ $Coim(f)$ は $A$ の側の事情（どう潰れるか）だけで決まる対象。 $Im(f)$ は $B$ の側の事情（どこに埋まるか）だけで決まる対象。 これらが同型になるということは、**「$f$ というプロセスにおいて、情報の構造がロスレスで伝達されている」**ということだ。 $A$ で圧縮された情報パケット（余像）が、$B$ の中でそのまま展開（像）されている。

この $Coim(f)\stackrel{\cong }{\to }Im(f)$ という同型射 $\bar{f}$ を仲立ちとして、任意の射 $f$ は以下のように分解される。 $A\stackrel{e}{\to }Coim(f)\underset{\cong }{\overset{\bar{f}}{\to }}Im(f)\stackrel{m}{\to }B$

1. エピ射 $e$: 情報を圧縮する（商をとる）。
2. 同型射 $\bar{f}$: 場所を移動する（翻訳する）。
3. モノ射 $m$: 情報を配置する（埋め込む）。

これが、第1章で見た「写像の分解」の究極の姿である。 圏論において「数学的対象を理解する」とは、対象そのものを分解するだけでなく、対象間の「射」をもこのように分解し、その内部構造（商と部分のメカニズム）を白日の下に晒すことなのである。

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続く論点（第三部）

【第6節】極限（Limit）と余極限（Colimit）の対比 【第7節】完全列（Exact Sequence） —— 部分と商の織りなすリズム

第三部では、これまで見てきた「等化子 vs 余等化子」「部分 vs 商」といった対概念を、「極限 vs 余極限」という統一的な枠組みで整理します。そして最後に、ホモロジー代数の華である「完全列」を紹介し、商と部分がいかにして数学的な響き（リズム）を生み出しているかを語り、本章を締めくくります。

続けて第三部を出力してよろしいでしょうか？