【第6節】写像の分解定理

【第6節】写像の分解定理

—— 第一同型定理の原型

ここまで、我々は「同値関係」を人為的に定義し、そこから商集合を作るというボトムアップな流れを見てきた。しかし、数学の現場では逆のパターンも頻繁に現れる。つまり、**「ある写像が存在したとき、そこから自然に商構造が生まれる」**というトップダウンな現象である。

写像が生み出す同値関係

任意の写像 $f:A\to B$ があるとしよう。このとき、我々は何の準備もなしに、集合 $A$ 上に一つの同値関係を自動的に定義することができる。 ルールは簡単だ。**「行き先が同じなら、同じとみなす」のである。 $x{\sim }_{f}y⟺f(x)=f(y)$ これを「写像 $f$ に付随する同値関係」あるいは「核（Kernel relation）」**と呼ぶ。 （※群論などの代数学では、Kernelといえば単位元へ飛ぶ要素の集合を指すが、集合論や一般の圏論では、この同値関係そのものをKernel Pairと呼ぶことがある。）

この関係 ${\sim }_f$ が同値関係の3条件を満たすことは、等号 $=$ の性質から直ちに従う。 この視点で見ると、写像 $f$ の役割は「値を計算すること」ではなく、定義域 $A$ に「分類（仕切り線）」を入れることにあると再解釈できる。

写像の分解（Factorization）

さて、この同値関係 ${\sim }_f$ を使って、商集合 $A/{\sim }_f$ を作ってみよう。 この商集合の要素 $[x]$ は、行き先が $f(x)$ であるような $A$ の要素たち（繊維）をひとまとめにした袋である。 すると、驚くべきことに、元の写像 $f$ は、以下の3つのステップにきれいに分解できることがわかる。

1. 商写像（全射）: $\pi :A\to A/{\sim }_f$
   • 要素 $x$ を、袋 $[x]$ に入れる。情報を圧縮するフェーズ。
2. 誘導された写像（同型）: $\bar{f}:A/{\sim }_f\to \text{Image}(f)$
   • 袋 $[x]$ を、値 $f(x)$ に対応させる。ここは単なる「ラベルの貼り替え（翻訳）」であり、情報の損失も付加もない。全単射の構造を持つ。
3. 包含写像（単射）: $\iota :\text{Image}(f)\hookrightarrow B$
   • 値の集合 $\text{Image}(f)$ を、終域 $B$ の中にそのまま置く。

これを数式で書くとこうなる。 $f=\iota \circ \bar{f}\circ \pi$ この分解を**「写像の標準分解（Canonical Factorization）」と呼ぶ。 特に重要なのは、真ん中の $\bar{f}$ が全単射（同型）になるという事実である。 $A/{\sim }_f\cong \text{Image}(f)$ 「定義域を核で割ったもの（商集合）は、値域（像）と同型である」。 これこそが、群論や環論で有名な「準同型定理（第一同型定理）」**の、集合論における最も原始的な姿（プロトタイプ）である。

「像」とは何か？

この定理が教えてくれる哲学的な真実は深い。 我々は「写像の像（Image）」を、終域 $B$ の中にある部分集合としてイメージしがちである。 しかし、この定理は**「像とは、定義域 $A$ の商（影）である」**と言っているのだ。 $B$ という受け皿がなくても、$A$ 自身の身を削る（商をとる）ことで、像の構造は完全に再現できる。 写像とは、情報の「圧縮（全射）」と「配置（単射）」の組み合わせに過ぎない。この分解能を手に入れたとき、我々は圏論的な対象の理解へ大きく一歩近づく。

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【第7節】普遍性へのプレリュード

—— 商写像の「最強」性

本章の締めくくりとして、商集合という概念を、要素を使わずに「矢印の関係性」だけで定義し直してみよう。これが次章から始まる圏論への架け橋となる。

情報を潰す「最も効率的な」方法

集合 $A$ と同値関係 $\sim$ があるとする。商写像 $\pi :A\to A/\sim$ は、$x\sim y$ ならば $\pi (x)=\pi (y)$ となるように作られている。つまり、関係 $\sim$ を等式 $=$ に変換する写像である。

しかし、関係 $\sim$ を等式に変える写像は、他にもたくさんあるかもしれない。 例えば、すべての要素をたった一点に潰してしまう写像 $z:A\to \{\ast \}$ も、$x\sim y⟹z(x)=z(y)$ を満たす（全部同じになるのだから当然だ）。

では、商写像 $\pi$ と、その他の有象無象の写像 $f$ との違いは何だろうか？ それは、$\pi$ が**「必要最小限の同一視しか行わない」**という点にある。 $\pi$ は、$x\sim y$ であるとき、そしてその時に限り、$\pi (x)=\pi (y)$ となる。関係のない $x$ と $z$ まで勝手にくっつけたりはしない。いわば「最も解像度の高い（情報を残している）つぶし方」なのだ。

普遍性（Universal Property）の定式化

この「ちょうど良さ」を数学的に表現するのが**「普遍性」**である。

【商写像の普遍性】 写像 $f:A\to B$ が、$x\sim y⟹f(x)=f(y)$ を満たす（関係 $\sim$ を尊重する）ならば、 商集合からの写像 $\bar{f}:A/\sim \to B$ がただ一つ存在して、 $f=\bar{f}\circ \pi$ が成り立つ。すなわち、以下の図式が可換になる。

$$\begin{array}{ccc}A& \stackrel{f}{\to }& B\\ \pi \downarrow & {\nearrow }_{\bar{f}}& \\ A/\sim & & \end{array}$$

この主張の意味するところを解読しよう。

1. 存在性（Existence）: どんな $f$ であっても、一度 $\pi$ で商集合に落としてから、改めて $B$ へ行くルート（$\bar{f}$）を作ることができる。これは、$A/\sim$ が $f$ の情報をすべて持っている（情報は圧縮されただけで失われていない）ことを意味する。
2. 一意性（Uniqueness）: そのルート $\bar{f}$ はただ一つに決まる。迷いようがない。これは $A/\sim$ に余計な贅肉（冗長な情報）がないことを意味する。

$\pi$ は、関係 $\sim$ を潰すというミッションを持った写像たちの中で、**「始対象（Initial Object）」**のような特別な地位にいる。 他のすべての写像 $f$ は、$\pi$ を経由して（$\pi$ を因数として含んで）初めて実現される。$\pi$ は全ての「つぶす写像」の原型（プロトタイプ）なのである。

圏論への招待状

この「普遍性」による定義の素晴らしい点は、もはや「同値類」や「袋」といった集合論の内側の話をしていないことだ。 語られているのは、「他の写像 $f$ との関係」や「図式の可換性」だけである。 これこそが圏論の流儀である。圏論では、商集合（余等化子）を作るのに、要素をこねくり回したりはしない。「このような普遍性を持つ対象が存在する」と宣言し、その性質を使って議論を進める。

次章では、この普遍性の概念をさらに一般化し、**「余等化子（Coequalizer）」**という圏論的商概念の正体に迫る。そこでは、集合だけでなく、群も、位相空間も、あらゆる数学的対象の「商」が、たった一つの定義の下に統一されることになる。

（第1章・完）

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1. 第一部：写像、単射、全射の圏論的視点からの再定義。
2. 第二部：同値関係の幾何学的解釈と商集合の構成。
3. 第三部：写像の分解と商写像の普遍性。

この第1章によって、読者は「集合と写像」という馴染み深い道具を、「情報の圧縮と展開」という新しい視点で使いこなす準備が整いました。これは次章以降の本格的な圏論展開への強固な土台となるでしょう。